Il flusso dell’acqua bagnata

No, il calore estivo non mi ha dato alla testa .

R. Feinmann

Ho solo ripreso il titolo di un bel capitolo de "La fisica di Feinmann" dove il "Nobelist Physicist, teacher, storyteller and bongo player" spiegava ai suoi alunni la differenza tra le equazioni che governano i fluidi ideali e quelli "reali".

Volevo parlare e tediarvi un attimo sui motivi profondi per cui, in certi campi, risulta difficile e talvolta impossibile fare previsioni deterministiche sui comportamenti di un sistema fisico. Ma andiamo con ordine e facciamo un pò di filosofia. Normalmente in Fisica e nelle Scianze Naturali si procede con il cosiddetto Metodo Galileiano .

Si osserva e misura un fenomeno, quindi si elabora un modello matematico che lo descriva .

Si usa il modello per eseguire delle previsioni e si eseguono nuove misure.

Se le misure confermano "entro ragionevoli limiti" le previsioni il modello e' accettato e se ne cerca una giustificazione teorica , altrimenti lo si butta via senza rimpianto …

Ma "cosa sono" i modelli? Be, diciamo che c'e' un po' di tutto. Un po' di tutto di quello che i "matematici teorici" sono riusciti a concepire . Però , per le previsioni "deterministiche" si puo' dire che va ancora per la maggiore un sistema ideato verso la fine del '600 – inizi '700  (parlo di Newton e di Leibnitz);  le equazioni differenziali.

Si tratta di "oggetti"  che contengono delle variabili insieme alle "derivate" delle variabili stesse (la derivata e' una funzione che dice quanto velocemente cambia il valore della variabile). Probabilmente senza saperlo ne avete incontrate parecchie nel vostro currculum scolastico.

Ad esempio la classica legge del moto F=m*a … e' un'equazione differenziale : infatti l'accelerazione (a) e' la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo  e… Se vogliamo ricavare la traiettoria di un oggetto, dobbiamo risolverla. Pero' qui le cose si complicano . Si, perchè non e' detto che una equazione differenziale sia facilmente risolubile.

Anzi, in generale, la soluzione "algebrica" non esiste

J.L.Lagrange
J.L.Lagrange

Un esempio storico molto bello e' il "problema a tre corpi", dove la forza F e' la forza di gravità . Non esiste la soluzione generale. Facendo i conti si possono vedere molte cose (e.s. l'esistenza dei "punti di Lagrange", dal nome del matematico torinese che li calcolo' per primo ). I calcoli dovevano essere fatti a mano risolvendo, per ogni caso particolare, delle "equazioni alle differenze" che, dopo un certo numero di iterazioni, danno il risultato cercato . Ad esempio, si voleva  sapere dove si sarebbe trovata la Luna da qui a qualche mese?  Bene, si prendevano le posizioni e le velocità "oggi" di tutti i pianeti e del Sole, si calcolavano le interazioni e quindi le nuove velocita', quindi le nuove posizioni, e via cosi' di un passettino alla volta. Ovviamente il "passettino" deve essere tale da non far variare in modo significativo le forze reciproche.

Con l'avvento dei calcolatori elettronici il problema del "calcolo numerico" sembrerebbe risolto. Infatti si riescono a calcolare le traiettorie delle sonde spaziali con una precisione "quasi miracolosa".

Pero' non sempre e' vero…

Studiando la teoria delle equazioni differenziali (e' stato tanti anni fa… non me ne vogliano i precisi se sarò un pò grossolano) si trova che ne esistono di due "tipi" : quelle stabili e quelle instabili. Nel primo caso piccole variazioni delle condizioni iniziali (es. le posizioni dei pianeti) portano variazioni "proporzionalmente piccole" del risultato. Nel secondo caso condizioni iniziali leggermente differenti portano a risultati finali MOLTO DIVERSI. (per chi volesse approfondire … stabilità equazioni differenziali )

Un altro esempio del primo gruppo di fenomeni : una corda di chiatarra. Se la pizzichiamo nel centro o se la pizzichiamo ad un estremo la nota emessa (dopo un certo tempo) sara' sempre la stessa… anche se le "condizioni iniziali" (Il pizzico) erano decisamente differenti (per chi volesse approfondire Corda_vibrante )

E arriviamo dunque all'acqua "bagnata"….

Il Feinmann, nella lezione precedente aveva illustrato le equazioni, molto belle, STABILI  ed eleganti, che governano il moto dei fluidi, nel caso semplificato di incomprimibilità ed assenza di viscosità e aveva chiamato un tale ipotetico elemento "acqua asciutta", in quanto senza viscosità non sarebbe mai rimasta "attaccata" a nulla…

Introducendo la viscosità e la comprimibilità le equazioni mutano profondamente e diventano poco eleganti e "asimmetriche".

Ma soprattuto perdono la stabilità.

L'introduzione della viscosità permette la nascita dei vortici, che sono in gran parte moti caotici e "imprevedibili". Da cui il detto "il battito delle ali di una farfalla puo' generare un uragano" …

Il che non e' proprio corretto… L'interpretazione da darsi e' che non si e' in grado di inserire il numero adatto di "condizioni iniziali" con la dovuta precisione in un modello previsionale che usi unicamente le equazioni che descrivono la dinamica dei fluidi.

E' un problema intrinseco del modello: non potrà mai farcela, da solo! Infatti per le previsioni meteo ormai non si utilizzano piu' solamente le analisi alle differenze ma sistemi misti che utilizzano l'analisi statistica ed altre diavolerie… Non e' pulito , non e' "matematicamente elegante " ,Ma funziona e, per dirla con il Feinmann, "la natura e' fatta così e noi non possiamo farci niente – R.F."

Luca Nitopi

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24 pensieri su “Il flusso dell’acqua bagnata

  1. Fabio Nintendo :le leggi fisiche dei fluidi ideali e reali si basano sullo stesso schema delle leggi chimiche dei gas ideali e reali.cmq le equazioni differenziali sono roba tosta, io alle superiori feci una fatica seria a capirle, soprattutto se entrava in gioco anche la derivata seconda nel calcolo.mi sa che quest’anno me le dovrò studiare in algebra lineare

    Sicuro che sono toste.
    Sapessi quanto sono complicate quelle che utilizzano a Reading……

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  2. Le equazioni differenziali rappresentano in analisi uno degli argomenti più complessi…pensate che per alcune stanno ancora cercando soluzione….ricordo ad analisi II avevo come professore un folle che alla lavagna scriveva i mostri….le più carucce e simpatiche sono quelle a variabili separabili, ma ce ne sono alcune del terzo ordine non omogenee…!!! se ci provi a farle finisci per farti esorcizzare…..

    Fabio Nintendo :le leggi fisiche dei fluidi ideali e reali si basano sullo stesso schema delle leggi chimiche dei gas ideali e reali.cmq le equazioni differenziali sono roba tosta, io alle superiori feci una fatica seria a capirle, soprattutto se entrava in gioco anche la derivata seconda nel calcolo.mi sa che quest’anno me le dovrò studiare in algebra lineare

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  3. Bell’articolo, complimenti.
    Da ciò si capisce la “pericolosità” dei modelli climatici: se costruisco un modello semplificato per descrivere/prevedere il clima, scegliendo che la CO2 sia una variabile fondamentale, ottengo come risultato che questo influenza pesantemente le temperature globali.

    Allora bisogna domandarsi: sono sbagliati i risultati? No, matamticamente sono impeccaili, tutto founziona perfettamente, nessuno porà confutare ciò che si ottiene.

    Forse è sbagliato il modello, la scelta delle variabili, le ipotesi semplificative adottate!!!

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