Le reazioni nucleari nel sole 2: La fusione nucleare e la finestra di Gamow

Il processo della fusione nucleare nelle stelle può essere suddiviso in una serie di step:

Due nuclei si avvicinano tra di loro. La repulsione elettrostatica li rallenta e li ferma quando la loro energia cinetica si è totalmente trasformata in energia potenziale nel reciproco campo elettrostatico.

Le energie termiche disponibili sia nel sole, sia sulla terra, sono insufficienti a portare due nuclei a contatto tra di loro. Si può calcolare fino a dove riescono ad avvicinarsi tra di loro. La loro energia termica, che va trasformata in energia potenziale, si calcola con la distribuzione di Maxwell – Boltzmann. Non si calcola con il fattore di Boltzmann, come viene indicato nella parte maggiore dei testi. E’ importante tenere conto del fatto che per l’avvicinamento tra due particelle non è determinante la velocità assoluta delle particelle ma la velocità relativa tra le due particelle, che è un’altra cosa.

Una particella che si è avvicinata fino a una certa distanza a un’altra particella e che è stata fermata dalla barriera elettrostatica ha una probabilità calcolabile di trovarsi dall’altra parte della barriera, cioè in contatto con l’altra particella. Questo perché il suo comportamento va descritto da un’onda. L’onda può mostrare un’ampiezza all’interno della barriera e dall’altra parte della barriera. La probabilità di passare dall’altra parte della barriera diminuisce con la distanza tra le due particelle. 

All’interno della barriera l’onda c’è. Ma il quadrato dell’ampiezza che dà la probabilità di trovare la particella lì, non fornisce un valore reale, ma un valore immaginario, una caratteristica del calcolo con numeri complessi. In altre parole, la particella può trovarsi di qua o di la della barriera, ma non nella barriera.

Il prodotto delle due funzioni, cioè la probabilità di trovare una particella con una certa energia e la probabilità che la particella passi la barriera mostra un massimo a una determinata energia. La zona intorno a questo massimo si chiama “finestra di Gamow”. Al di fuori della finestra di Gamow il prodotto delle due probabilità diventa piccolo. Due particelle si possono incontrare soltanto se la loro reciproca energia cinetica cade dentro la finestra di Gamow. A energie più basse nella distribuzione termica delle energie si trovano tante particelle, ma le loro energie sono insufficienti per avvicinarsi abbastanza per l’effetto tunnel, la barriera non è trasparente. Alle alte energie alte la barriera è notevolmente trasparente ma non ci sono particelle.

Quando due particelle si incontrano può verificarsi una fusione dei due –  eventualmente, non sempre. La fusione tra due protoni  è complessa. Tra due protoni non esiste nessuno stato legato. Due protoni si possono legare tra di loro soltanto se nel momento del contatto uno dei due si trasforma in un neutrone, con l’emissione di un positrone e un neutrino. Normalmente protoni non si trasformano in neutroni, manca l’energia per farlo. Nel caso della fusione di due protoni l’energia viene fornita dall’energia di legame del deuterone che si forma. Questa energia, 2,224 MeV, è abbondante. Per la formazione del positrone occorrono 0,511 MeV, restano quindi 1,713 MeV che vanno in energie cinetiche del positrone e del neutrino.

La trasformazione del protone in un neutrone è un decadimento beta. Il decadimento beta è governato dall’interazione debole.

La fusione tra due nuclei di solito è una questione di interazione forte, che governa l’adesione dei nucleoni (cioè protoni e neutroni) tra di loro. La fusione tra due protoni è l’unico caso di fusione nucleare conosciuto che coinvolge oltre all’interazione forte e anche quella debole, che al momento giusto deve trasformare un protone in un neutrone.

Quando si afferma che la fusione termonucleare, cioè la bomba all’idrogeno o la fusione allo scopo della generazione di energia elettrica, sia il processo del sole, si tratta di una non verità. La fusione eseguibile sulla terra, cioè tra deuterio e trizio, non coinvolge nessuna interazione debole.

La fusione tra due protoni, che formano un deuterone, sulla terra non è mai stata eseguita.

La distribuzione di Maxwell – Boltzmann

Le particelle in un gas o in un plasma si muovono. Se la densità del gas è sufficiente per far nascere interazioni tra di loro, nasce un equilibrio termico con una distribuzione delle energie tipica. La probabilità che una particella abbia una certa velocità o una certa energia cinetica viene descritta dalla distribuzione di Maxwell-Boltzmann.

Due diverse formulazioni della distribuzione di Maxwell – Boltzmann:

       distribuzione in funzione della velocità

      distribuzione in funzione dell’energia cinetica

Le funzioni f(v) e f(E) indicano ciascuna punti della curva. La probabilità di trovare una velocità precisa o un’energia precisa è zero. La probabilità diventa finita per un intervallo dv di velocità o un intervallo dE di energia. L’area intera sotto le curva diventa 1 (quest’è un controllo per la correttezza del calcolo).

La prima formula fornisce la probabilità f(v) di trovare la particella nell’intervallo di  velocità v – dv/2 a v+dv/2.

La seconda formula fornisce la probabilità fE di trovare la particella con l’energia nell’intervallo E- dE/2 a E+ dE/2.

Nella prima formulazione appare la massa m della particella, nella seconda formulazione la massa non appare.

La distribuzione di Maxwell – Boltzmann  è idonea per descrivere il comportamento nelle stelle al di fuori delle situazioni di altissima densità come si trova nelle nane bianche o nelle le stelle a neutroni.

La cinetica d’urto tra due particelle.

Esiste un “trucco” per il comportamento tra due particelle in movimento. Si possono usare le formule valide per una sola particella, sostituendo la massa della particella con la “massa ridotta”, che si calcola con la seguente formula:

mridotta  =  m1 * m 2 / (m 1   +   m2)

(derivazione dettagliata in Wikipedia)

Grafico per la distribuzione Maxwell – Boltzmann delle velocità di protoni in  m/s a 15 Milioni di gradi K (interno del sole).

La distribuzione in funzione dell’energia è una sola, è uguale per singoli protoni, per coppie di protoni, per nuclei di elio o qualsiasi altra particella. La massa della particella non appare nella formula. L’esempio è stato calcolato per la temperatura di 15 milioni di K, temperatura al centro del sole.

Il fatto che la distribuzione Maxwell – Boltzmann espressa per velocità delle particelle crea due curve diverse e che la distribuzione in termini di energia consiste in una sola curva, merita una spiegazione: La velocità è un vettore, l’energia uno scalare. Per l’energia cinetica tra due particelle non conta la lunghezza intera (modulo) del vettore, ma solo la sua componente lungo la linea che collega le due particelle.

La barriera elettrostatica

Il grafico mostra l’energia (non la forza) di repulsione elettrostatica tra un nucleo di deuterio e un nucleo di trizio.

Contatto tra i due nuclei. A questo punto l’interazione forte diventa dominante sulla la repulsione elettrostatica. Il grafico si riferisce alla repulsione tra un nucleo di deuterio e uno di trizio. E’uguale a quello tra due protoni, dato che le cariche elettriche sono uguali. Basta spostare la linea di contatto un po’ più a sinistra. L’energia elettrostatica al contatto tra due protoni è più alta, dato che sono più piccoli e si avvicinano un po’ di più.

L’effetto tunnel

L’energia cinetica necessaria tra due protoni per superare la repulsione elettrostatica tra di loro è di 545 keV. La probabilità di trovare quest’energia nella distribuzione termica a 15 milioni di gradi è dell’ordine di grandezza di 10-160. In tutto il sole non c’è neanche una coppia di protoni con questa energia.

Secondo la meccanica classica la barriere può essere superata soltanto da particelle con energia uguale o superiore all’altezza della barriera.

Secondo la meccanica a onde le particelle possono avere una probabilità di trovarsi dall’altra parte della barriera senza avere l’energia sufficiente per superarla. E come superare una montagna con un tunnel invece di passare sopra.

Le ampiezze dell’onda (prese al quadrato), che esprimono la probabilità di trovare la particella in un posto si ottengono come soluzione dell’equazione di Schroedinger.  Il potenziale da usare nell’equazione di Schroedinger è quello elettrostatico descritto qui sopra, a simmetria sferica. Questo problema matematico è stato risolto da Gamow.

Il rapporto delle probabilità fuori o dentro la barriera viene chiamato “trasparenza della barriera”.

Si ottiene come risultato per la trasparenza o la probabilità di passare la barriera:

probabilità =  exp (-EG/E)1/2

EG  =  energia di Gamow  =  (paZA  ZB)2 2mr c2   in J

E    =  energia della particella in J

mr   =  massa ridotta delle due particelle

c     = velocità della luce  =  299 792 458  m/s

a =  fine structure constant  .conversione J in eV:   1 eV=  1,6020E-19 J

Elmar Pfletschinger

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16 pensieri su “Le reazioni nucleari nel sole 2: La fusione nucleare e la finestra di Gamow

  1. @ Lorenzo
    Il blog è degenerato a causa di alcune persone che hanno iniziato a frequentarlo e per colpa della decisione di Simon di concedere pagine del blog destinate alla più pura follia….non si può incolpare chi cerca semplicemente di riportare un barlume di razionalità….il mezzo della censura non è certamente bello, ma in alcuni casi è necessario, e questo lo è..,……Fabio hai tutto il mio appoggio……………….

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  2. Commenti riaperti nell’altro articolo.
    resteranno aperti a patto che si continui a parlare di argomenti che siano inerenti al tema trattato

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  3. Simon,mi piacerebbe avere un aggiornamento sull’attuale situazione dell’attivita’ solare.Grazie.Con affetto e stima Giorgio.

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  4. Bello, bello…
    Non mi ero mai occupato dell’argomento … in effetti ragionavo sempre in termini di H + H = He… senza pensare che un He con due protoni nudi … non funziona…
    Grassie della spiega…
    Luca

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  5. giorgio :Simon,mi piacerebbe avere un aggiornamento sull’attuale situazione dell’attivita’ solare.Grazie.Con affetto e stima Giorgio.

    al momento siamo sotto a marzo, anche se lì lì…intendo come solar flux e SN sidc.

    mentre a livello magnetico (solar flare ed xray) notevolmente sotto!

    vediamo come saranno questi ultimi 9 giorni

    Simon

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  6. ice2020 :

    giorgio :Simon,mi piacerebbe avere un aggiornamento sull’attuale situazione dell’attivita’ solare.Grazie.Con affetto e stima Giorgio.

    al momento siamo sotto a marzo, anche se lì lì…intendo come solar flux e SN sidc.
    mentre a livello magnetico (solar flare ed xray) notevolmente sotto!
    vediamo come saranno questi ultimi 9 giorni
    Simon

    Ciao!Pensi sia il massimo?

      (Quote)  (Reply)

  7. @nitopi
    La reazione tra due protoni è il vero problema per capire il sole. Questa reazione sulla terra non è mai stata fatta e non sarà mai fatta.

    Che la fusione nucleare porterebbe il processo del sole sulla terra non è vero. La fusione terrestre finora funziona tra trizio e deuterio. Però finora si riescono fare soltanto esplosioni, la bomba termonucleare o bomba H. I tentativi di produrre energia elettrica con la fusione finora sono falliti. Nessun impianto ha prodotto più del 40% dell’energia necessaria per farlo funzionare. Negli anni sessanta, nel Max Planck Institut a Monaco di Baviera dicevano che ci vogliono 25 anni per arrivare a produrre energia elettrica. Negli anni 90 si diceva che ci vogliono altri 40 anni. Attualmente si parla del 2050 o 2060. Probabilmente i finanziamenti vengono bloccati prima.

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  8. @elmar
    Forse uno alla volta in un acceleratore… Se interessasse a qualcuno, visti i costi di un esperimento di quel tipo…

    Per la fusione da deuterio e trizio (che poi implicherebbe l’uso del litio, se ben ricordo perche’ i trizio e’ decisamente raro…) … ho avuto la stessa impressione… Quando ero al liceo circolavano i grafici che mostravano lo stato attuale rispetto alla soglia dell””ignizione” del fenomeno… e si diceva … ancora 20 anni e ci siamo… Oggi, che ne sono passati una trentina, si dice lo stesso…
    E’ come la barzelletta—
    … La fusione e’ all’orizzonte …
    cerchi sul dal vocabolario :
    orizzonte : linea immaginaria che si allontana man mano che il soggetto si avvicina….

    Ciao
    Luca

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  9. @elmar
    Il 6% del litio è litio 6. Il litio 6 è un forte assorbitore di neutroni. Quando ha assorbito un neutrone si spacca in elio 4 e trizio.

    Di litio sulla terra si stima che ci siano 25 milioni di tonnelate. 5 volte di più dell’uranio. Comunque non è inesauribile.
    Si racconta che si potrebbe fare reagire il elio3 on deuterio. E’ una balla.
    Funzione solo in un acceleratore, non in un reattore. La reazione del deuterio succede a temperature più basse della reazione tra elio 3 e deuterio. Tanto vale fare reattori a solo deuterio. Finora non ci si riesce.

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  10. @Luca Nitopi

    L’unico acceleratore capace a lavorare nel campo “Gamow”, cioè a energie bassissime, sotto la soglia della repulsione elettrostatica tra i nuclei, è quello del progetto LUNA sotto il Gran Sasso, per quanto ne sappia. A fare la reazione p(p,e-)d non ci provano neanche. Fanno reazioni come He3(He3, 2p)He4, che sono estremamente più facili, senza il coinvolgimento di un’interazione debole. Ma ho li’impressione che la statistica sia sempre scarsa, cioè pochi eventi (per questo motivo si va sotto il Gran Sasso, per lavorare a un livello di disturbi che non sepellisce tutto).

    Gli altri acceleratori lavorano a energie molto al di sopra delle energie che si trovano nelle stelle della sequenza principale del HR, come il nostro sole. Questi acceleratori sparano protoni contro protoni, ma in nessun caso nasce un deuterone.

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