Le reazioni nucleari nel sole 3: La reattività

La finestra di Gamow non ha come risultato il numero di reazioni che avvengono in un determinato volume:

Manca il numero d’interazioni – la densità non c’è nella formula, ma è evidente che c’entra – e manca la probabilità che la reazione avvenga nel caso di contatto. E’ possibile che anche in caso di contatto tra due protoni non succeda proprio niente.

Il numero d’interazioni:

(Non si può parlare di urti, dato che due protoni non si urtano mai. Come interazione si intende la situazione in cui due protoni si avvicinano alla distanza più breve possibile, alla quale tutta l’energia cinetica nel sistema di due protoni è trasformata in energia elettrostatica)

La questione del numero di interazioni, tralasciando la probabilità di una reazione nucleare, è una questione geometrica:

  N = numero di interazioni al secondo per unità di volume

  σparticella  = sezione di interazione

 n1 = numero di particelle tipo 1 che partecipano nella reazione nel volume

 n2 = numero di particelle tipo 2 che partecipano nella reazione nel volume

 v  = la velocità delle particelle

Il numero totale delle interazioni si ottiene come somma (o integrale) del numero di reazioni dei singoli campi di velocità.

La sezione di interazione non è la sezione geometrica. Va calcolata con la meccanica delle onde che descrive la probabilità di presenza di una particella in un determinato volume. Per particelle di piccola massa, come i protoni e di bassa energia, come nel sole, la lunghezza d’onda che descrive la probabilità di presenza della particella, è più grande della particella.

Per particelle pesanti e ad alta energia il σ diventa la sezione geometrica delle particelle.

Le densità di particelle n1 e n2 si riferiscono nel caso della fusione tra due protoni allo stesso tipo di particelle. Tenendo conto che ogni protone può reagire con ogni altro protone, si ottiene:

Dove n è la densità di protoni.

Le reazioni nucleari sono possibili unicamente nella finestra di Gamow. In questo caso il σgeometrico diventa σparticelle (v) x fattore di Gamow(v).

Con questo si ottiene il numero di protoni, che attraverso l’effetto tunnel sono effettivamente in contatto tra di loro per unità di volume e di tempo.

Questo sarebbe sufficiente a calcolare la reattività in cui il contatto tra due nuclei porta comunque a una fusione (occorre aggiungere un fattore che esprime il fatto che la fusione è possibile solo per certi casi di orientamento reciproco degli assi di rotazione delle particelle). Nel caso della fusione tra due protoni non è così. Il prodotto della fusione non è un 2He (che sarebbe un isotopo dell’elio senza neutroni) che non esiste (come detto prima, non esiste alcuno stato legato tra due protoni), ma è il deuterio. Nel momento del contatto quindi uno dei due protoni si deve trasformare in un neutrone.

La teoria delle probabilità dei decadimenti beta è stata sviluppata da Enrico Fermi. In questa teoria si applica l’operatore dell’interazione debole ai stati di partenza (due protoni) e di arrivo (una particella di deuteroni, un positrone e un neutrino).

Questo calcolo è introvabile. La reattività della fusione di due protoni che è l’inizio delle reazioni nucleari che producono l’energia nel sole risulta sconosciuta. (in un libro di fisica si trova la nota: “Non preoccupatevi, il sole funziona lo stesso”).

Si può invece il eseguire il calcolo “rovescio”: Invece di partire dalla fisica nucleare si parte dal calore sviluppato dal sole:

Si può calcolare la effettiva reattività della reazione tra due protoni con l’assunzione dei seguenti dati:

Temperatura al centro del sole                                                                15 000 000 K

Densità                                                                                                               150 000 kg/m3

Percentuale di idrogeno                                                             60% approssimativo

Quindi:

Numero di protoni al metro cubo                                           5,37691×1031

Parte dei protoni nella finestra Gamow                                               0,000178

Numero di protoni nella finestra Gamow                            9,57 x 1027/m3

Numero di protoni che reagisce in un secondo                 2,52 x 1014/m3/s

Vita media dei protoni che sono nella finestra di

Gamow, cioè che possono reagire                                         1 204 000 anni   (!)

Per confronto: La vita media di un neutrone, che tramite un decadimento beta si trasforma in un protone, è di 884,4 secondi (attenzione: la vita media e il tempo di dimezzamento non son la stessa cosa, il tempo di dimezzamento del neutrone è di 613 secondi).

 Conclusione: Manca la comprensione del processo di fusione tra due protoni.

Elmar Pfletschinger

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23 pensieri su “Le reazioni nucleari nel sole 3: La reattività

  1. @Pierluigi
    Hans Bethe ha sicuramente applicato la teoria dell’effetto tunnel nella versione di Gamow. Non so se ha caloato l’interazione debole per calcolare la reattività. Resta il fatto che ovviamente credeva poco che funzionasse davvero e per superare il problema ha inventato quello che dopo è diventato il ciclo Bethte Weizsaecker oppure CNO, di cui scriverò nell’ultima articolo del ciclo. L’ha ipotizzato – era una genio – cinquant’anni prima che la fisica nucleare ha fornito le basi di connoscenza per il suo funzionamento.

    Peccato che l’articolo sia a pagamento.

      (Quote)  (Reply)

  2. @elmar

    L’articolo e’ anche non a pagamanto,basta ricercare il titolo da google. Vorrei sottolineare che non e’ affatto vero che i calcoli non si trovano, o che la gente non sia convinta. E’ ovvio che per un problema cosi’ importante la letteratura sia vastissima, basta prendersi la briga di cercare. Il seguente e’ un articolo di review

    http://arxiv.org/abs/1004.2318

    Spulciando al suo interno si trova tutto quello che si vuole. Ripeto, l’affermazione “Questo calcolo è introvabile. ” non e’ corretta. Basta Cercare.

      (Quote)  (Reply)

  3. @Giovanni
    E’ vero. Ho guardato quel lavoro e ho trovato i risultati del calcolo su base interazione debole, eseguito da Bahcall e May.

    Sul sito http://t2.lanl.gov/data/astro/astro.html invece si trovano gli “S-factor” per tante reazioni tranne quello per la reazione pp.

    Anche nel testo che uso di solito “The Physics of stars”, A.C. Philips, Wiley, reprint febbraio 2006, non c’è traccia.

    Ho imparato. grazie.

      (Quote)  (Reply)

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