Dalle risonanze un modello di genesi del Sistema Solare:
le ricerche di Percival Lowell

Lowell desidera sfruttare le risonanze tra i periodi dei pianeti per indagare l’origine del Sistema Solare. Come nel caso delle armonie kepleriane, della legge di Titius, e come vedremo di ben più recenti lavori, le sue ricerche furono al centro di critiche, fondate sul dubbio che si tratti di un vero e proprio modello scientifico, o piuttosto di una mera coincidenza numerologica. L’ipotesi sulla formazione dei pianeti sostenuta nel lavoro di Lowell riprendeva i lavori di Chamberlin e Moulton, secondo i quali i pianeti si erano formati da materiale espulso dal Sole in occasione di una violenta collisione con una stella vicina. Egli cita inoltre come opera di riferimento un testo di Tisserand, quel Traité de mécanique céleste in quattro volumi pubblicato tra il 1889 e il 1896.
In sostanza Lowell parte dalla considerazione che, in prima approssimazione, gli assi maggiori delle orbite dei pianeti sono tali che il moto medio di un pianeta sia multiplo di quello di uno dei due pianeti a lui adiacenti, secondo i rapporti: 1/2, 2/5, 1/3 (nel caso particolare Venere-Terra il rapporto è pari a 3/5). Questa regolarità secondo l’astronomo esprime il meccanismo per il quale avrebbe avuto genesi
il nostro Sistema Solare: i pianeti si sarebbero formati in successione, dal più interno al più esterno, e la posizione del pianeta che si andava formando era necessariamente prossima a un punto tale da dar luogo a rapporti commensurabili, a causa delle interazioni con il sistema formato dal Sole e dagli altri pianeti più interni, che si erano formati precedentemente.
In effetti, come già Keplero aveva sottolineato nell’Harmonice Mundi, i rapporti tra i semplici moti medi non danno luogo a rapporti semplici precisi. Se Keplero aveva scelto di considerare le velocità all’afelio e al perielio, con cui si affinava notevolmente l’approssimazione, Lowell decide di interpretare lo scostamento come l’impronta di un ulteriore effetto, dovuto all’attrazione gravitazionale da parte del Sole e dei pianeti interni. Questa sarebbe la causa per cui i pianeti (come mostra la fig. 3) si trovano tutti spostati verso il Sole, rispetto alla posizione che permetterebbe rapporti esattamente commensurabili.
La sua ipotesi lo portò a cercare un eventuale nuovo pianeta in posizioni corrispondenti ai summenzionati rapporti semplici. Egli dedicò così, con la collaborazione di Carl Otto Lampland, incaricato di fotografare il cielo nelle regioni opportune, gli anni compresi dal 1905 alla fine della propria vita, senza riuscire nell’intento. Dopo la sua morte l’osservatorio da lui fondato continuò, quasi come dovuto omaggio, quelle ricerche, finché nel 1930 Clyde William Tombaugh scoprì un pianeta che orbitava effettivamente alla distanza prevista dalla teoria di Percival Lowell, a cui fu dato il nome di Plutone.

Fig. 3 Le posizioni che darebbero luogo a periodi esattamente commensurabili sono segnate
con i cerchietti bianchi, in scuro le posizioni reali dei pianeti. N.B. Per motivi di spazio la
figura riporta soltanto i pianeti interni.

Una panoramica sulla situazione contemporanea

Concludiamo con una panoramica sulle ricerche contemporanee in questo settore, tralasciando naturalmente le numerose risonanze tra i pianeti e i loro satelliti e quella tra Nettuno e Plutone, del tutto particolare e che richiederebbe una lunga discussione. In particolare osserveremo due approcci ben differenti: da un lato gli studi di coloro che ricavano relazioni dai dati osservativi, e cercano di assegnare a queste un significato fisico; dall’altro le ricerche di chi, a partire da ipotesi fisiche, cerca di ottenere equazioni valide in un sistema planetario. Tra i ricercatori moderni che hanno cercato di trovare delle risonanze a due corpi tra i pianeti del Sistema Solare ricordiamo Albert Molchanov, che dimostrò che le relazioni esistenti nelle serie delle distanze planetarie sono il risultato di più
semplici ed esatte relazioni nelle serie delle loro frequenze. La struttura del Sistema Solare è determinata da una tavola di relazioni risonanti. La struttura risonante, nello stadio finale, è inevitabile se un sistema dinamico come il Sistema Solare ha una evoluzione che avviene sotto l’azione di forze dissipative (cioè che fanno perdere energia orbitale). Nel Sistema Solare attuale il campo potenziale (conservativo) è dominante. Tuttavia il sistema esiste da quasi 5 miliardi di anni per cui anche forze dissipative molto piccole, che hanno causato perdita di energia orbitale a scapito di energia termica, hanno avuto sufficiente tempo per esercitare la loro influenza. Molchanov dimostra che questi piccoli termini dissipativi hanno tendenza a creare configurazioni stabili. Dal momento che le zone di risonanza sono determinate da serie di numeri interi, emerge un discreto numero di possibili stati stazionari, e il Sistema Solare si trova esso stesso in uno di tali stati. Molchanov procede creando equazioni lineari tra le frequenze (definite come l’inverso del periodo) dei pianeti. Indicando con Me la frequenza orbitale di Mercurio, V quella di Venere e così via, si hanno le seguenti equazioni lineari, prendendo la frequenza di Giove uguale a 1:

Il modello ottenuto risolvendo queste equazioni fornisce frequenze abbastanza vicine a quelle reali, come si può vedere in tavola M, ma non proprio coincidenti con le risonanze. Il punto debole del lavoro è il fatto che con lo stesso procedimento è possibile trovare equazioni analoghe alle precedenti che danno residui ancora minori. Infatti Michel Henon [1969] fa notare che le frequenze reali hanno un errore relativo dell’ordine di 0.005. Facendo degli esempi esplicativi dimostra che le equazioni (1) possono essere pienamente soddisfatte da effetti casuali, e pertanto non possedere alcun significato fisico.
Anche Backus [1969] fa notare (come si può anche vedere dalla tabella) che le otto relazioni di risonanza per le frequenze orbitali dei nove pianeti non sono pienamente soddisfatte ma hanno un errore piuttosto evidente, la cui grandezza fa pensare che quelle relazioni possano essere soddisfatte anche da una serie di nove numeri scelti a caso.

Con argomenti non molto diversi dai precedenti Stanley F. Dermott [1969] demolisce le teorie di Molchanov, che però risponde alle feroci critiche con due lavori [1969] pubblicati sempre sulla prestigiosa rivista «Icarus». In uno di questi spiega perché non accetta i «very crude statistical model» dei detrattori delle sue teorie e propone un modello più preciso che migliora i risultati precedenti.

In un secondo lavoro Molchanov cerca di dare una valutazione quantitativa di una data struttura risonante e dimostra, tramite un nuovo e complicato sistema di equazioni applicato anche ai sistemi dei satelliti di Giove, Saturno e Urano, che una «buona» struttura risonante casuale non è assolutamente possibile. Sebbene, come vedremo più avanti, si osservino realmente delle risonanze nel
Sistema Solare, pur se soltanto per coppie di pianeti o satelliti, le teorie di Molchanov vennero abbandonate per il loro essere non risonanze vere e proprie, ma semplicemente valori vicino alle risonanze.
Proseguendo la rassegna sulla ricerca di risonanze nei pianeti del Sistema Solare ricordiamo i calcoli di simulazione numerica mediante computer sviluppati da Dole [1970], Hills [1970], William e Galley [1971] e Dormand e Woolfson [1971].
Tra questi esporremo, a titolo di esempio, la simulazione della formazione del Sistema Solare realizzata da Dole con il metodo Monte Carlo. Partendo dall’ipotesi che i pianeti si siano formati per aggregazione di materia dentro una nube di polveri e gas che circondano il Sole appena formato, Dole inietta nella nube stessa uno alla volta nuclei massivi che si muovono lungo orbite ellittiche. Le dimensioni del semiasse maggiore e dell’eccentricità dell’orbita di ciascun nucleo sono determinati da una successione random. Quando i nuclei orbitano dentro la nube crescono per aggregazione e gradualmente spazzano la polvere libera. Il processo di immettere nuove masse continua fino a che tutta la polvere è stata spazzata via; qualcuna delle masse si unisce l’una con l’altra a formare pianeti maggiori, che a loro volta spazzano lontano quei pianeti minori che si avvicinano troppo. Il risultato finale dei calcoli di Dole è una serie di pianeti che in massa, numero e spaziatura sono piuttosto simili al Sistema Solare. La fig. 4 mostra quattro dei venti modelli di sistemi planetari ottenuti da Dole; il quinto è il nostro sistema planetario che può considerarsi come membro della serie.
Ciascun sistema planetario prodotto usando una differente sequenza di numeri casuali è unico, ma tutti i sistemi così prodotti rispecchiano le maggiori strutture regolari del Sistema Solare. Gli spazi tra le orbite mostrano la suggestiva regolarità della legge di Bode. I pianeti interni sono piccoli corpi rocciosi; quelli medi sono larghi corpi gassosi, quelli esterni sono generalmente piccoli; anche la distribuzione delle masse è simile a quella del Sistema Solare con masse che vanno dal piccolo Mercurio al maggiore Giove.
Laskar, più recentemente [1988], si serve per le integrazioni numeriche dei più potenti computer di quegli anni (super computer CRAY-1). I calcoli sono svolti per la soluzione di sistemi differenziali che danno la variazione secolare del Sistema Solare considerando gli otto maggiori pianeti tenendo conto anche degli effetti lunari e relativistici. Laskar trova, dopo una integrazione del sistema secolare per un periodo di 30 milioni di anni, che le soluzioni per il Sistema Solare esterno sono più stabili di quelle del Sistema Solare interno, dove molte quasi-risonanze nelle frequenze a lungo periodo mostrano una buona convergenza di soluzioni, in particolare le soluzioni per Mercurio e Marte sono le maggiori suscettibili di variabilità. Ancora Laskar l’anno successivo [1989] presenta una integrazione numerica, per un periodo d’integrazione di 200 milioni di anni, di un grande sistema analitico di equazioni differenziali mediate contenenti l’evoluzione secolare delle orbite degli otto maggiori pianeti. La soluzione è caotica, con un massimo esponente di
Lyapounov che raggiunge il sorprendente enorme valore di circa 1.5 milione di anni. Il moto del Sistema Solare è così dimostrato essere caotico, non quasi periodico. In particolare, la predicibilità delle orbite dei pianeti interni, incluso la Terra, cessa dopo poche decine di milioni di anni. La situazione evolve, pur su tempi astronomici, ma comunque mantenendo posizioni in risonanza.

Moto caotico. Coefficienti di Lyapounov

Per moto caotico si intende un moto il cui risultato finale è così sensibile a piccoli cambiamenti delle condizioni iniziali e delle forze che influenzano la traiettoria che la previsione dello stato del sistema in un futuro lontano diventa praticamente impossibile. Nel caso del moto caotico la divergenza tra orbite che partono da condizioni iniziali vicine avviene molto rapidamente, seguendo una legge esponenziale, cioè con una velocità che aumenta progressivamente nel tempo. La rapidità con cui tale divergenza si manifesta è misurata da un parametro detto «tempo di Lyapounov», che rappresenta il tempo necessario perché la distanza tra orbite vicine aumenti di un fattore e (la base dei logaritmi naturali); così dopo un periodo pari a due tempi di Lyapounov la distanza iniziale delle orbite sarà cresciuta di un fattore e2, cioè di circa 7,39 volte il valore iniziale, e così via.
L’insorgere del caos è strettamente legato al fenomeno delle risonanze, cioè alla presenza di rapporti semplici tra i periodi di rivoluzione o di precessione dei corpi celesti considerati. Ad esempio se un corpo celeste si trova su un’orbita avente un semiasse maggiore pari a 0,62996 volte quello di Giove, per la terza legge di Keplero il suo periodo orbitale sarà uguale a 0,5 volte quello di Giove. Cioè nell’intervallo di tempo in cui Giove esegue un giro completo intorno al Sole il corpo celeste ne compirà esattamente due: si parla in questo caso di risonanza 2:1 con Giove. In generale lo stato di risonanza comporta la ripetizione periodica delle stesse configurazioni reciproche tra i due corpi celesti coinvolti; in tal caso una parte delle perturbazioni gravitazionali non si compensano nel corso del tempo, come avviene normalmente, ma si accumulano progressivamente, generando effetti particolarmente intensi sull’eccentricità ed inclinazione del corpo celeste. La grandezza di tali perturbazioni dipende in modo critico dal verificarsi in modo esatto della condizione di commensurabilità; si verifica quindi quella estrema sensibilità dalle condizioni iniziali che è tipica del moto caotico. La risonanza secolare possiamo definirla come uno stato dinamico in cui il periodo di precessione della linea dei nodi o dell’argomento del perielio di un corpo celeste viene a coincidere con l’analogo periodo di precessione del corpo maggiore. Tale situazione dà origine in generale a fenomeni di caos dinamico.

Pochi anni dopo (1992) Jacques Laskar, Thomas Quinn, e Scott Tremaine, confermano l’esistenza di risonanze secolari tra i moti di precessione della Terra e di Marte. Ancora Laskar [1997] facendo integrazioni di equazioni del Sistema Solare in un periodo di miliardi di anni, ha dimostrato che gli spazi dei pianeti interni possono essere la conseguenza della presenza di caos in grande scala nelle loro orbite, i cui intervalli di variazioni sono solamente limitati da qualche mancanza di conservazione del loro momento angolare, cioè la parte del loro momento angolare risultante dal moto non circolare e non planare.

Norman Murray e Matthew Holman [1999] hanno sviluppato una nuova teoria analitica che dimostra che il caos tra i pianeti gioviani risulta dalla sovrapposizione delle componenti di una risonanza di moto medio a tre corpi, Giove, Saturno e Urano.
Gli stessi ricercatori danno un valore approssimato del tempo di Liapunov (107 anni); i pianeti gioviani devono essere entrati in risonanza dopo che tutti i gas e la maggior parte dei planetesimi nel disco protoplanetario furono rimossi.
Gli ultimi che si sono interessati all’argomento che ci riguarda sono stati T.A. Mitchtchenko e S. Ferraz-Mello, i quali hanno studiato le risonanze del Sistema Solare esterno nelle vicinanze dei pianeti. La stabilità di questa zona è analizzata usando un nuovo metodo numerico per scoprire la caoticità del moto planetario; questi ricercatori esplorano una gran parte dello spazio delle fasi dove il Sistema Solare esterno evolve e costruiscono mappe dinamiche delle regioni intorno ai pianeti gioviani. Le regioni studiate sono densamente riempite da risonanze di moto medio a due e tre pianeti che generano instabilità nel moto planetario. Inoltre Mitchtchenko e Ferraz-Mello hanno dimostrato quanto siano vicine le reali posizioni dei pianeti a queste instabilità.

Conclusioni

Nell’articolo che King-Hele dedica agli studi sui fenomeni di risonanza, egli si chiede (e si risponde):

«“Are they significant, or mere numerology?»”. The quick answer is: “Yes, yes” [King-Hele 1972].

http://www.annalombardi.eu/

Fonte : http://www.brera.unimi.it/sisfa/atti/2003/245-258LombardiBari.pdf

Michele