L’equazione delle Palle

E dagli con i titoli strambi…

Questa volta facciamo due conti per vedere cosa significa inventare un modello e cercare di applicarlo ad un caso reale…

Prendiamo due palle, distanti tra di loro, messe in mezzo all’universo vuoto (che tristezza)

Facciamo che la prima sfera abbia un qualche meccanismo interno che ne mantiene la temperatura superficiale costante. La seconda sfera invece e’ li, abbandonata a se stessa. Sarete tutti d’accordo che secondo l’equazione di Stefan-Boltzman accadra’ che

Dove con W indico la potenza emessa totale (La U dell’equazione di S.B. e’ la potenza per unita’ di superficie radiante) . I termini Epsilon (qualla specie di simbolino che assomiglia a quello dell’euro, per chi, come me,  non avesse fatto il classico) viene introdotto per far vedere che le due palle non sono corpi neri, ma corpi “reali” (grigi … sic…). Facciamo conto che le due palle siano molto distanti (d>> R1,R2)  e la palla calda sia molto calda (T1>>T2) … In questa approssimazione possiamo proseguire il ragionamento .

Imponiamo il bilancio energetico per la palla numero due …

L’energia che la raggiunge deve essere pari a quella che essa riemette… (C’e’ una semplice proporzionalità tra le superfici della sfera di raggio d e la superficie del cerchio di raggio R2)… Ecco i conti finali…

Et voilà il nostro modellino e’ pronto .. e vedrete che e’ piu’ efficente di quanto sembri…. (ah… se le immagini sono un po’ piccole, cliccateci sopra…)

Cominciamo ad applicare il modello… La palla 1 e’ chiaramente il sole, la palla 2 puo’ essere un qualunque pianeta (che non abbia esagerate fonti di energia al suo interno…)

Intanto cosa possiamo notare ?

Ho appositamente suddiviso il risultato in quattro termini, per poterli discutere uno alla volta…

1) Le temperature sono proporzionali. Se non varia nulla negli altri parametri , un incremento percentuale della temperatura del “sole” originerà un pari aumento percentuale sul pianeta (le percentuali si calcolano dallo zero assoluto, eh!) … Elegante vero?

2) La radice di due, pur essendo un numero mistico e mitico… la lasciamo li perche’ non ci dice nulla, a parte che vale circa 1.4142 … per tutti i secoli dei secoli…

3) Le dimensioni e la distanza dal sole ovviamente influenzano la temperatura del nostro pianeta ma… OCCHIO! non linearmente, bensi’ in forma di radice quadrata (e’ una dipendenza piu’ blanda… se quadruplico la distanza, la temperatura diventa “solo” la metà)… Stupiti?  anche questo e’ un risultato simpatico…

4) Per ultimo arriva il termine piu’ sfizioso ( che furbastro, l’ho lasciato per ultimo apposta…) . Il termine comprende il rapporto tra le correzioni delle emissività dei due corpi.  E qui si apre un mondo! Infatti sono buoni tutti a fare i conti mettendo ad uno quel rapporto.

Solo che i conti non tornano!!!

E i pianeti risultano piu’ caldi di quanto dovrebbero essere…. (Sia quelli con atmosfera che quelli senza) .

Ma perchè e’ difficile calcolare quel rapporto?

Be… diciamo che sia la superficie di un plasma (sole) che la superficie di un pianeta (soprattutto se coperta in modo variabile con nuvole e magari – che bastardo!- in rotazione…) sono tutto fuorchè un corpo nero…

Voi direte … Che bello, abbiamo trovato un modo per verificare i modelli climatici: Per essere validati dovrebbero darci modo di calcolare in modo teorico l’emissività della Terra….  Si OK… Ma il sole? C’e’ anche la SUA di epsilon … E sono abbastanza sicuro che vari parecchio tra  condizioni di massimo e quelle  di minimo.

(Ma guarda tu.. non e’ solo una questione di mera temperatura del sole!!!)

Ma ci vogliamo spingere oltre? Cerchiamo i limiti del modello.

Tutto il bel castello si basa sul fatto che stiamo ragionando in condizioni di EQUILIBRIO. Ma cosa succede se, in modo abbastanza rapido (relativamente alla risposta del sistema…) qualche parametro varia?  Oppure se la temperatura dei due corpi non e’ uniforme?

Non c’e’ risposta… Il modello cade e dobbiamo cercarcene un’altro….

Idem se le palle sono abbastanza vicine da permettere alla seconda di “riemettere” in modo consistente sulla prima (in questo caso le equazioni si complicano e invece della tempertura elevata alla quarta ci sarebbe stata la differenza delle temperature elevate alla quarta e tuto avrebbe preso una strada diversa.

Spero di non avervi tediato troppo e di non aver inanellato troppe sciocchezze

Alla prossima

Luca Nitopi

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63 pensieri su “L’equazione delle Palle

  1. @Giovanni

    Scusa Giovanni, ma l’atmosfera perde energia semplicemente perchè è in contatto con lo spazio siderale, le serre no.

    Tu hai prima la troposfera (dove si verificano tutti i fenomeni meteo), poi la tropopausa, poi la stratosfera, la mesosfera (dove si raggiungono temperature tra i -70° e i -90° C, e infine la Termosfera e la Esosfera, dove in teoria avresti temperature cinetiche altissime, sopra i 2000° C, ma in realtà hai freddo, perchè la rarefazione è estrema e le pochissime molecole di gas non vengono più trattenute dalla gravità terrestre, e quindi sfuggono nello spazio.
    Quindi la rarefazione estrema fa sì che il calore si disperda enormemente e non venga avvertito come sulla Terra.

    Quindi il calore che sale dai suoli verso l’atmosfera, si disperde interamente già nell’alta troposfera, e poi nella tropopausa c’è lo strato di venti impetuosi del vortice polare, a – 55° C in media.

    Ma poi considera che l’atmosfera perde energia termica anche per effetto della rotazione terrestre medesima (effetto di Coriolis), che è alla base della grande circolazione atmosferica, del movimento degli alisei tropicali, ecc.

    Insomma, la vedo dura paragonare un’atmosfera terrestre, con tutte le reazioni che ci sono, ad una piccola serra chiusa ermeticamente, col tettuccio in plastica.

      (Quote)  (Reply)

  2. @IlikeCO2

    IlikeCO2 :
    @Giovanni
    Scusa Giovanni, ma l’atmosfera perde energia semplicemente perchè è in contatto con lo spazio siderale, le serre no.

    Sono assolutamente daccordo. Ma come la perde? Non per moti convettivi, perche’ attorno e’ vuoto e quindi le molecole non possono urtare nulla. Quindi deve perde energia solo radiativamente.

      (Quote)  (Reply)

  3. Non riesco a capire se IlikeCO2 abbia delle intuizioni formidabili o se sia compeltamente fuori strada
    (Non volermene 8) ormai non ho più l’età per avere intuizioni… qualcuna l’ho avuta ma ormai posso solo usare l’esperienza 8) )

    Capisco benissimo cosa intende Giovanni quando cdice che alla fine la Terra irraggia … e ci mancherebbe !!!

    Penso pero’ che IlikeCO2 pero’ stia un passetto oltre…

    Come fischia irraggia un corpo che si sta’ rimescolando, e’ “traslucido?” e per meta’ si scalda e per l’altra meta’ si raffredda (cioe’, non e’ in equilibrio?????)

    Ciao
    Luca

      (Quote)  (Reply)

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